50 bài tập về rút gọn biểu thức hữu tỉ (có đáp án 2024)

Với cơ hội giải Rút gọn gàng biểu thức hữu tỉ môn Toán lớp 8 Đại số bao gồm cách thức giải cụ thể, bài xích tập dượt minh họa với điều giải và bài xích tập dượt tự động luyện sẽ hỗ trợ học viên biết phương pháp thực hiện bài xích tập dượt Rút gọn gàng biểu thức hữu tỉ. Mời chúng ta đón xem:

Rút gọn gàng biểu thức hữu tỉ và cơ hội giải bài xích tập dượt - Toán lớp 8

Bạn đang xem: 50 bài tập về rút gọn biểu thức hữu tỉ (có đáp án 2024) – Toán 8

I. Lý thuyết

- Biểu thức hữu tỉ là 1 phân thức hoặc nhiều phân thức được nối cùng nhau bởi vì những phép tắc toán nằm trong, trừ, nhân, phân tách bên trên phân thức.

- Biến thay đổi biểu thức hữu tỉ là bởi vì những phép tắc toán nằm trong, trừ, nhân, phân tách tao trả những biểu thức hữu tỉ về phân thức.

II. Dạng bài xích tập

Dạng 1: Tìm ĐK xác lập của biểu thức hữu tỉ

Phương pháp giải: Ta mò mẫm ĐK nhằm toàn bộ những hình mẫu thức không giống 0

Ví dụ: Tìm x nhằm những biểu thức hữu tỉ sau xác lập.

a) $A = \frac{x^{2}}{x - 8} . (\frac{x^{2} + 64}{x} - 16) + 19$

b) $B = (\frac{x^{2} + 1}{8} + \frac{x}{4}) . (\frac{2}{x - 1} - \frac{2}{x + 1})$

c) $C = (\frac{x^{2} + x}{x^{2} - 5 x + 6} + \frac{1}{x - 3}) : \frac{1}{x - 1}$

Lời giải:

a) Biểu thức A xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 8 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 8 \\ x \neq 0 \end{cases}$

Vậy $x \neq 0$ và $x \neq 8$ thì biểu thức A xác lập.

b) Biểu thức B xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 \neq 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ x \neq - 1 \end{cases} \Rightarrow x \neq \pm 1$

Vậy $x \neq \pm 1$ thì biểu thức B xác lập.

c) Biểu thức C xác lập $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 5 x + 6 \neq 0 \\ x - 3 \neq 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} (x - 3) (x - 2) \neq 0 \\ x \neq 3 \\ x \neq 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 2 \\ x \neq 3 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Vậy $x \neq 2$ ; $x \neq 1$ ; $x \neq 3$ thì biểu thức C xác lập.

Dạng 2: Biến thay đổi biểu thức hữu tỉ trở thành phân thức

Phương pháp giải: Thực hiện nay theo dõi nhị bước

Bước 1: Sử dụng những quy tắc nằm trong, trừ, nhân, phân tách phân thức tiếp tục học tập nhằm thay đổi đổi

Bước 2: Biến thay đổi cho đến Lúc được một phân thức mới nhất với dạng $\frac{A}{B}$

Ví dụ: Biến thay đổi những biểu thức sau trở thành phân thức:

a) $A = \frac{2 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{1}{x}}$ với $x \neq 0; x \neq \frac{1}{2}$

b) $B = \frac{x - 8 + \frac{12}{x}}{x - 7 + \frac{6}{x}}$ với $x \neq 0; x \neq 1; x \neq 6$ .

Lời giải:

a) $A = \frac{2 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{1}{x}}$

$\Leftrightarrow A = \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{2 x}{x} - \frac{1}{x}}$

$\Leftrightarrow A = \frac{\frac{2 x + 1}{x}}{\frac{2 x - 1}{x}}$

$\Leftrightarrow A = \frac{2 x + 1}{x} : \frac{2 x - 1}{x}$

$\Leftrightarrow A = \frac{2 x + 1}{x} . \frac{x}{2 x - 1}$

$\Leftrightarrow A = \frac{(2 x + 1) x}{x (2 x - 1)} = \frac{2 x + 1}{2 x - 1}$

Vậy $A = \frac{2 x + 1}{2 x - 1}$ với $x \neq 0; x \neq \frac{1}{2}$ .

b) $B = \frac{x - 8 + \frac{12}{x}}{x - 7 + \frac{6}{x}}$

$\Leftrightarrow B = \frac{\frac{x^{2}}{x} - \frac{8 x}{x} + \frac{12}{x}}{\frac{x^{2}}{x} - \frac{7 x}{x} + \frac{6}{x}}$

$\Leftrightarrow B = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 12}{x}}{\frac{x^{2} - 7 x + 6}{x}}$

$\Leftrightarrow B = \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x} : \frac{x^{2} - 7 x + 6}{x}$

$\Leftrightarrow B = \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x} . \frac{x}{x^{2} - 7 x + 6}$

$\Leftrightarrow B = \frac{(x - 2) (x - 6)}{x} . \frac{x}{(x - 6) (x - 1)}$

$\Leftrightarrow B = \frac{(x - 2) (x - 6) x}{x (x - 6) (x - 1)}$

$\Leftrightarrow B = \frac{x - 2}{x - 1}$ với $x \neq 0; x \neq 1; x \neq 6$ .

Dạng 3: Thực hiện nay phép tắc tính với những biểu thức hữu tỉ

Phương pháp giải: Sử dụng phối hợp những quy tắc nằm trong, trừ, nhân, phân tách những phân thức đại số tiếp tục học tập nhằm chuyển đổi.

Ví dụ 1: Thực hiện nay phép tắc tính

$B = (4 x^{2} - 1) (\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} - 1)$ với $x \neq \pm \frac{1}{2}$ .

Lời giải:

$B = (4 x^{2} - 1) (\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} - 1)$

$\Leftrightarrow B = (4 x^{2} - 1) (\frac{2 x + 1}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{2 x - 1}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{(2 x - 1) (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)})$

$\Leftrightarrow B = (4 x^{2} - 1) (\frac{(2 x + 1) - (2 x - 1) - (2 x - 1) (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)})$

$\Leftrightarrow B = (4 x^{2} - 1) (\frac{2 x + 1 - 2 x + 1 - 4 x^{2} + 1}{(2 x - 1) (2 x + 1)})$

$\Leftrightarrow B = (4 x^{2} - 1) (\frac{- 4 x^{2} + 3}{4 x^{2} - 1})$

$\Leftrightarrow B = \frac{(4 x^{2} - 1) (- 4 x^{2} + 3)}{4 x^{2} - 1}$

$\Leftrightarrow B = - 4 x^{2} + 3$ với $x \neq \pm \frac{1}{2}$ .

Ví dụ 2: Cho biểu thức

$P = \frac{x^{2} + 2 x}{2 x + 12} + \frac{x - 6}{x} + \frac{108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

a) Tìm ĐK xác lập của P..

b) Rút gọn gàng P..

c) Tìm x nhằm P.. = $\frac{3}{2}$ .

Lời giải:

a) P.. với nghĩa $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 12 \neq 0 \\ x \neq 0 \\ 2 x (x + 6) \neq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x \neq - 12 \\ x \neq 0 \\ x \neq 0; x \neq - 6 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq - 6 \end{cases}$

Vậy nhằm P.. với nghĩa thì $x \neq 0$ và $x \neq - 6$ .

b) $P = \frac{x^{2} + 2 x}{2 x + 12} + \frac{x - 6}{x} + \frac{108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{2} + 2 x}{2 (x + 6)} + \frac{x - 6}{x} + \frac{108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

Xem thêm: Câu hỏi tự luận mức độ thông hiểu Ngữ văn 11 kết nối bài 4: Thuyền và biển (Xuân Quỳnh)

$\Leftrightarrow P = \frac{x (x^{2} + 2 x)}{2 x (x + 6)} + \frac{(x - 6) .2 (x + 6)}{2 x (x + 6)} + \frac{108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{2 x (x + 6)} + \frac{2 x^{2} - 72}{2 x (x + 6)} + \frac{108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x^{3} + 2 x^{2}) + (2 x^{2} - 72) + (108 - 6 x)}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{3} + 2 x^{2} + 2 x^{2} - 72 + 108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{3} + 4 x^{2} - 6 x + 36}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{3} + 216 + 4 x^{2} - 6 x + 36 - 216}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x^{3} + 216) + (4 x^{2} - 6 x - 180)}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x + 6) (x^{2} - 6 x + 36) + (x + 6) (4 x - 30)}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x + 6) [(x^{2} - 6 x + 36) + (4 x - 30)]}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x + 6) (x^{2} - 6 x + 36 + 4 x - 30)}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x + 6) (x^{2} - 2 x + 6)}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{2} - 2 x + 6}{2 x}$ .

c) Để P.. = $\frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{x^{2} - 2 x + 6}{2 x} = \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 2 (x^{2} - 2 x + 6) = 2 x .3$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 4 x + 12 = 6 x$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 4 x + 12 - 6 x = 0$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 10 x + 12 = 0$

$\Leftrightarrow 2 (x^{2} - 5 x + 6) = 0$

$\Leftrightarrow 2 (x^{2} - 2 x - 3 x + 6) = 0$

$\Leftrightarrow 2 [x (x - 2) - 3 (x - 2)] = 0$

$\Leftrightarrow 2 (x - 2) (x - 3) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 2 = 0 \\ x - 3 = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 (tm) \\ x = 3 (tm) \end{array}$

Vậy nhằm P.. = $\frac{3}{2}$ thì $x = 2$ hoặc $x = 3$ .

III. Bài tập dượt vận dụng

Bài 1: Tìm ĐK xác lập của những phân thức sau

a) $\frac{x + 1}{x^{3} - 4 x^{2} + 3 x}$

b) $\frac{x^{2} - 1}{9 x^{2} - 16}$

c) $\frac{x - y}{x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}}$

d) $\frac{x + 1}{x^{2} - 6 x + 9}$

Bài 2: Chứng minh những phân thức sau luôn luôn xác lập với từng x,y

a) $\frac{x - 3}{x^{2} - 2 x + 6}$

b) $\frac{x^{3} + 1}{9 x^{2} + 1}$

c) $\frac{x - y}{x^{2} + 2 y^{2} + 1}$

d) $\frac{x - 3 y}{{(x - 1)}^{2} + y^{2} - 2 y + 3}$

Bài 3: Đưa biểu thức sau trở thành phân thức

a) $A = \frac{1 + \frac{4}{x - 2}}{1 + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 4}}$ với $x \neq \pm 2$

b) $B = \frac{x}{1 - \frac{x}{x + 3}}$ với $x \neq - 3$

c) $C = \frac{3 x - \frac{1}{9 x^{2}}}{1 + \frac{1}{3 x} + \frac{1}{9 x^{2}}}$ với $x \neq 0$

Bài 4: Thực hiện nay phép tắc tính

a) $P = [\frac{1}{{(x - 2 y)}^{2}} + \frac{2}{x^{2} - 4 y^{2}} + \frac{1}{{(x + 2 y)}^{2}}] . \frac{{(x + 2 y)}^{2}}{16 x}$

b) $Q = (\frac{1}{x^{2} + 8 x + 16} - \frac{1}{x^{2} - 8 x + 16}) : (\frac{1}{x + 4} + \frac{1}{x - 4})$

Bài 5: Cho biểu thức $A = \frac{x^{2} + 2 x}{2 x + 10} + \frac{x - 5}{x} - \frac{5 x - 50}{2 x^{2} + 10 x}$

a) Tìm ĐK xác lập của A.

b) Rút gọn gàng A.

c) Tính độ quý hiếm của bên trên điểm x = 1.

d) Tìm x nhằm A = 0.

Bài 6: Cho biểu thức $B = \frac{{(x + 2)}^{2}}{x} . (1 - \frac{x^{2}}{x + 2}) - \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x}$

a) Tìm ĐK xác lập của B.

b) Rút gọn gàng B.

c) Tính B Lúc x = 5.

Bài 7: Đưa biểu thức sau trở thành phân thức

a) $P = \frac{1 + x^{2} - \frac{7}{x + 1}}{2 - \frac{7}{x + 1}}$ với $x \neq - 1; x \neq \frac{5}{2}$ .

b) $Q = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{x}}}$ với fake xử hình mẫu số luôn luôn không giống 0.

Bài 8: Chứng minh biểu thức sau ko tùy theo biến

$M = \frac{{(\frac{x + 1}{x})}^{2}}{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1} (\frac{1}{x} + 1)}$ .

Bài 9: Cho $P = \frac{2 x y}{x^{2} - y^{2}}$ và $Q = \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Rút gọn gàng biểu thức $A = \frac{P Q}{P^{2} - Q^{2}}$ .

Bài 10: Chứng minh biểu thức sau ko tùy theo biến

$A = (\frac{x}{x^{2} - 49} - \frac{x - 7}{x^{2} + 7 x}) : \frac{2 x - 7}{x^{2} + 7 x} + \frac{x}{7 - x}$ với $x \neq \pm 7; x \neq 0; x \neq \frac{7}{2}$ .