Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), dựng AH vuông góc với BC tại điểm H (Miễn phí)

Cho lối tròn trĩnh (O) nước ngoài tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N theo thứ tự là vấn đề tại chính giữa của cung nhỏ $\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}$ và cung nhỏ $\stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}$. Hai chão AN và CM hạn chế nhau bên trên I. Dây MN hạn chế những cạnh AB và BC theo thứ tự bên trên những điểm H và K.

a) Chứng minh những điểm C, N, K, I nằm trong phụ thuộc một lối tròn trĩnh.

b) Chứng minh ${\mathrm{NB}}^2=\mathrm{NK}.\mathrm{MN}$

c) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

d) Gọi PQ theo thứ tự là tâm của những lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ 2 lần bán kính ND của lối tròn trĩnh (O). Chứng minh tía điểm D, E, K trực tiếp mặt hàng.

Cho lối tròn trĩnh (O; R) và điểm A ở ngoài lối tròn trĩnh (O). Vẽ nhì tiếp tuyến AB, AC của lối tròn trĩnh (O) (B, C là nhì tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ADE của lối tròn trĩnh (O) (D, E nằm trong lối tròn trĩnh (O); D nằm trong lòng A và E, tia AD nằm trong lòng nhì tia AB, AO).

a) Chứng minh rằng A, B, O, C nằm trong phụ thuộc một lối tròn trĩnh và xác lập tâm của lối tròn trĩnh này.

b) Chứng minh rằng ${\mathrm{AB}}^2=\mathrm{AD}.\mathrm{AE}$

c) Gọi H là gửi gắm điểm của OA và BC. Chứng minh rằng $∆\mathrm{ADH}~∆\mathrm{AEO}$ và tứ giác DEOH nội tiếp.

d) Đường trực tiếp AO hạn chế lối tròn trĩnh (O) bên trên M, N (M nằm trong lòng A và O). Chứng minh rằng $\frac{\mathrm{EH}}{\mathrm{AN}}=\frac{\mathrm{MH}}{\mathrm{AD}}$

Cho tam giác nhọn ABC sở hữu AB < AC và lối cao AK. Vẽ lối tròn trĩnh tâm O 2 lần bán kính BC. Từ A kẻ những tiếp tuyến AM, AN với lối tròn trĩnh (O) (M, N là những tiếp điểm; M và B phía trên nửa mặt mày phẳng phiu sở hữu bờ là đường thẳng liền mạch AO). Gọi H là gửi gắm điểm của hai tuyến đường trực tiếp MN và AK. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AMKO nội tiếp lối tròn trĩnh.

b) KA là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{MKN}}$

c) ${\mathrm{AN}}^2$ = AK.AH

d) H là trực tâm của tam giác ABC.

Cho tam giác ABC sở hữu tía góc nhọn, nội tiếp lối tròn trĩnh (C) tâm o nửa đường kính R. Hai lối cao AE và BK của tam giác ABC hạn chế nhau bên trên H (với E nằm trong BC, K nằm trong AC)

a) Chứng minh tứ giác ABEK nội tiếp được vô một lối tròn trĩnh.

b) Chứng minh CE.CB = CK.CA

c) Chứng minh $\widehat{\mathrm{OCA}}=\widehat{\mathrm{BAE}}$

d) Cho B, C thắt chặt và cố định và A địa hình bên trên ( C) vẫn thỏa mãn nhu cầu ĐK tam giác ABC nhọn, khi ê H nằm trong một lối tròn trĩnh (T) thắt chặt và cố định. Xác toan tâm I và tính nửa đường kính r của lối tròn trĩnh (T), biết R = 3 centimet.

Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp lối tròn trĩnh tâm O. Tiếp tuyến của lối tròn trĩnh tâm O bên trên điểm C hạn chế những đường thẳng liền mạch AB và AD theo đòi trật tự bên trên M, N. Dựng AH vuông góc với BD bên trên điểm H; K là gửi gắm điểm của hai tuyến đường trực tiếp MN và BD.

a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng: AD.AN = AB.AM

c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh tía điểm A, H, E trực tiếp mặt hàng.

d) Cho AB = 6 centimet, AD = 8 centimet. Tính chừng lâu năm đoạn MN.

Cho lối tròn trĩnh tâm O và điểm A ở ngoài lối tròn trĩnh. Từ A kẻ nhì tiếp tuyến AB và AC (B, C là những tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi.

c) Gọi I là gửi gắm điểm của đoạn OA với lối tròn trĩnh (O). Chứng minh I là tâm lối tròn trĩnh nội tiếp tam giác ABC.

Xem thêm: 5 web vẽ bằng AI này sẽ khiến bạn phải bất ngờ | Sapo.vn

d) Cho OB = 3cm, OA = 5cm. Tính diện tích S tam giác ABC.