Giải toán 7 Bài 7. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

§7. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRƯNG TRựC
CỦA MÔT ĐOAN THANG
A. Tóm chất lượng loài kiến thức
Định nghĩa đàng trung trực
Đường trung trực của một quãng trực tiếp là đường thẳng liền mạch vuông góc với đoạn trực tiếp ấy bên trên trung điểm của chính nó.
Trong hình 3.67, d là đàng trung trực của đoạn trực tiếp AB.
Hình 3.67
Ta cũng nói: A đối xứng với B qua quýt d.
Định lí 1
Điểm phía trên đàng trung trực của một quãng thảng thì cơ hội đều nhì mút của đoạn trực tiếp cơ.
Định lí 2. Điểm cơ hội đều nhì mút của một quãng trực tiếp thì phía trên đàng trung trực của đoạn trực tiếp cơ.
MA = MB => M nằm trong đàng trung trực của AB.
Tập hợp ý những điểm cơ hội đều nhì mút của một quãng trực tiếp là đàng trung trực của đoạn trực tiếp cơ.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho tam giác ABC (AB = AC; A > 90° ). Vẽ đàng trung trực của những cạnh AB, AC hạn chế những cạnh này ứng bên trên I, K và hạn chế BC theo thứ tự bên trên D và E.
Các tam giác ABD và AEC là tam giác gì?
Gọi o là kí thác điểm của ID và KE. Chúng minh AO± BC.
Giải, (h.3.68)
Vì , ID là đàng trung trực cua cạnh AB nên DA = DB bởi vậy tam giác ABD cân nặng bên trên D.
Vì EK là đàng trung trực của cạnh AC nên
EA = EC bởi vậy tam giác AEC cân nặng bên trên E.
b) Do o nằm trong đàng trung trực của AB nên OA = OB. Mặt không giống o nằm trong đàng trung trực của AC suy đi ra OA = oc.
Vậy OB = oc hoặc o nằm trong đàng trung trực của BC.
Mà AB - AC nên A nằm trong đàng trung trực của BC, bởi vậy AO là đàng trung trực của BC suy đi ra AO ± BC.
Nhận xét
Bài toán đang được áp dụng đặc điểm điểm phía trên đàng trung trực thì cơ hội đều nhì đầu đoạn trực tiếp nhằm chứng tỏ nhì đoạn trực tiếp đều nhau.
Bài toán tiếp tục khó khăn rộng lớn nếu như chỉ mất câu b.
c. Hương dẫn giải bài xích tạp nhập sách giáo khoa
p '
s.
X
/
V
/
X
/
X
/ị
X
/
X
/
X
/
X
/
X
X
✓
X
z
X
z
X
z
X
z
\
z
X
z
■-X .
Z--
_x
z
Q
Bài 44. Giải. Theo ấn định lí thuận tao đem MB = 5cm.
Bài 45. Giải, (h.3.69) PM = PN => p nằm trong đàng trung trực của đoạn thảng MN.
QM = QN =>Q nằm trong đàng trung trực của đoạn thảng MN.	M
Vậy PQ là đàng trung trực của MN.
Nhận xét. Ta được thêm cách thức chứng tỏ một đường thẳng liền mạch là đàng trung trực của đoạn thẳng: Nếu nhì điểm
p, Q phân biệt nằm trong cơ hội đều nhì điểm A, B thì đường thẳng liền mạch PQ là đàng trung trực của đoạn thắng AB.
Bài 46. Gidi. (h.3.70) AB = AC => A nằm trong đàng trung trực của đoạn thắng BC.
DB = DC => D nằm trong đàng trung trực của đoạn thảng BC.
EB = EC => E nằm trong đàng trung trực của đoạn trực tiếp BC.
E
Hình 3.70
Vậy thân phụ điểm A, D, E trực tiếp sản phẩm.
B
Bài 47.
Bài 48.
Nhận xét. Chúng tao được thêm một cách thức chứng tỏ thân phụ điểm thảng hàng: Ba điểm nằm trong phụ thuộc đàng trung trực của một quãng trực tiếp thì trực tiếp sản phẩm.
Giai, (h.3.71) M nằm trong đàng trung trực của đoạn trực tiếp AB suy đi ra MA = MB.
N nằm trong đàng trung trực cúa đoạn trực tiếp AB suy đi ra NA = NB.
Vậy AAMN = ABMN (c.c.c).
Gieii. (h.3.72) I nằm trong đàng trung trực cúa đoạn trực tiếp ML suy đi ra IM = IL.
Do cơ IM + IN = IL + IN >LN (theo bất đẳng thức tam giác).	
Dấu "=" xẩy ra Lúc I là kí thác điểm của xy
Hình 3.71
Bài 49.
MA + MB = ME + MB > BE (1).
với LN.
Nếu M trùng với c thì
MA + MB = CA + CB = CE + CB = BE (2).
So sánh (1) và (2) tao thấy điểm c ở địa điểm là kí thác điểm của bờ sông với đường thẳng liền mạch nối điểm đối xứng của A qua quýt sông với B thì đường ống dẫn dẫn nước cần người sử dụng là sớm nhất.
Bài 50. Giải, (h.3.74) Đường trung trực của đoạn trực tiếp nối nhì điểm người ở A và B hạn chế đàng quốc lộ bên trên c, này đó là vị trí - cần thiết dò thám. Thật vậy c nằm trong đàng trung trực của AB nên CA = CB.
Bài 51. Giải, (h.3.75)
Chứng minh phương pháp vẽ này đó là đúng:
PA = PB => p nằm trong đàng trung trực của đoạn trực tiếp AB.
AC = BC => c nằm trong đàng trung trực cứa đoạn thắng AB.
Vậy PC là đàng trung trực của đoạn trực tiếp AB, suy đi ra PC ± AB, tức là •PC 1 d.
Một cách tiếp theo (h.3.76):
Lấy điểm A bất kì nằm trong d, vẽ đàng tròn trĩnh (A; AP).
Lấy điểm B bất kì nằm trong d, vẽ đàng tròn trĩnh (B; BP).
Hai đàng tròn trĩnh hạn chế nhau ở điểm loại nhì Q. Đường thắng PQ vuông góc với d.
Thật vậy:
AP = AQ => A nằm trong đàng trung trực của đoạn trực tiếp PQ.
BP = BQ => B nằm trong đàng trung trực của đoạn trực tiếp PQ.
Vậy AB là đàng trung trực của PQ suy đi ra PQ 1 AB.
D. Bài tạp luyện thêm
c
Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A. về phía ngoài của tam giác ABC vẽ những tam giác đều ABD, ACE. a) Chứng minh BE = CD.
Kẻ đàng phân giác AF của tam giác ABC. Chứng minh BE, CD, AF đồng quy.
Cho đoạn trực tiếp BC đem I là trung điểm. Trên đàng trung trực của BC lấy điểm A không giống I.
Chứng minh A ABI = AACI;
Kẻ IH _L AB, IK ± AC. Chứng minh tam giác AHK cân;
Chứng minh KH // BC.
Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ BD± AC; CE-L AB. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh M nằm trong đàng trung trực của đoạn trực tiếp DE.
Cho tam giác ABC nhọn, kẻ AH ± BC. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao mang lại HE = HA. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao mang lại XiaoMi MI = MA. Chứng minh BE = CI.
Cho tam giác ABC đem AB < AC. Đường trung trực của đoạn trực tiếp BC hạn chế AC bên trên M.
Chứng minh AM + BM = AC.
Lòi giải - Hướng dẫn - Đáp sô
AE = AD*	Hình 3.77
=> A ABE = A ACD (c.g.c) =í> BE = CD.
b) AABE= AACD=>cỊ = Bj .
1
Mà tam giác ABC cân nặng nên ABC = Ngân Hàng Á Châu => B2 = c2 => tam giác ABO cân nặng => OB = oc o nằm trong đàng trung trực của BC (1).
Tam giác ABC đem AF là đàng phân giác =>ẠF là đàng trung trực (2).
Từ (1) và (2) suy đi ra thân phụ đường thẳng liền mạch AF, BE, CD đồng quy.
(h.3.78)
A AB] = AACI (c.g.c).'
Tam giác ABC cân nặng (AB = AC) => A. = A-> .
A
=> AH = AK => tam giác AHK cân nặng bên trên A.
AH = AK => A nằm trong đàng trung trực của HK.
IH = IK => I nằm trong đàng trung trực cúa HK.
=7 AI là đàng trung trực của HK => AI ± HK .
Mặt không giống, AI là đàng trung trực của BC => AI ± BC
(h.3.79) Tam giác BDC đem BDC = 90°;
BM = MC nên DM là đàng trung tuyến ứng với cạnh huyền bởi vậy DM = BC .
Tam giác BEC có
HK // BC.
M
Hình 3.79
BEC = 90° và BM = MC
nên EM là đàng trung tuyến ứng với cạnh huyền suy đi ra EM = -^-BC .
Do cơ DM = EM, vậy M nằm trong đàng trung trực của DE.
Nhận XiT'Muon chứng tỏ một điểm nằm trong đàng trung trực của một quãng thảng, tao chỉ việc chứng tỏ điểm cơ cơ hội đều nhì đầu đoạn trực tiếp cơ.
(h.3.80) AABM = AICM (c.g.c)
=>AB = CI (1).
AE 1BH, HA = HE nén BH là đàng trung trực của đoạn thắng AE
BE = AB (2).
Từ(l)và (2) tao CÓ BE = CI.
(h.3.81) M nằm trong trung trực của BC
=> BM = MC.
Do cơ AM + BM = AM + MC =>AM + BM = AC.