Trong lăm le lý Viet của phương trình bậc 3, tất cả chúng ta sở hữu phương trình \\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\\) với a, b, c, d là những thông số của phương trình. Định lý Viet bảo rằng sở hữu tối nhiều 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 mang đến phương trình này.
Để hiểu vì sao chỉ mất tối nhiều 3 nghiệm phân biệt, tớ cần phải biết về kiểu cách vận dụng lăm le lý Viet. Trước hết, tớ tính tổng của toàn bộ những nghiệm \\(S = x1 + x2 + x3\\). Tiếp theo đuổi, tớ tính tổng của toàn bộ những tích nhì hai nghiệm song một \\(P = x1x2 + x2x3 + x3x1\\). Cuối nằm trong, tớ tính tích của toàn bộ những nghiệm \\(T = x1x2x3\\).
Theo lăm le lý Viet, tớ sở hữu những công thức sau đây:
\\(S = -\\frac{b}{a}\\)
\\(P = \\frac{c}{a}\\)
\\(T = -\\frac{d}{a}\\)
Với lăm le lý Viet này, tớ hoàn toàn có thể chứng tỏ rằng nếu như phương trình bậc 3 sở hữu nghiệm phân biệt, thì tất cả chúng ta chỉ hoàn toàn có thể sở hữu tối nhiều 3 nghiệm phân biệt.
Để chứng tỏ điều này, tớ fake sử rằng phương trình bậc 3 sở hữu 4 nghiệm phân biệt \\(x1, x2, x3, x4\\). Ta có:
\\(S = x1 + x2 + x3 + x4\\)
\\(P = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x1\\)
\\(T = x1x2x3 + x2x3x4 + x3x4x1 + x4x1x2\\)
Giả sử tớ chèn một độ quý hiếm \\(x\\) nhập phương trình. Ta sẽ sở hữu một phương trình bậc 4 mới:
\\(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\\)
Tương tự động, tớ tính tổng, tích nhì hai và tích của toàn bộ những nghiệm mới mẻ này như sau:
\\(S\' = x + x1 + x2 + x3 + x4\\)
\\(P\' = xx1 + xx2 + x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x1\\)
\\(T\' = xxx1 + xxx2 + x1x2x3 + x2x3x4 + x3x4x1 + x4x1x2\\)
Bằng cơ hội đối chiếu những thông số thân thiết phương trình bậc 3 ban sơ và phương trình bậc 4 mới mẻ, tớ có:
\\(S\' = S + x\\)
\\(P\' = Phường + Sx + T\\)
\\(T\' = T + Px\\)
Nếu tớ lựa chọn độ quý hiếm \\(x\\) sao mang đến phương trình bậc 4 mới mẻ sở hữu \\(S\' = 0\\), thì tớ tiếp tục có:
\\(x = -S\\)
Thế nhập những công thức bên trên, tớ có:
\\(S\' = 0\\)
\\(P\' = Phường - S^2 + T\\)
\\(T\' = T - PS\\)
Từ cơ, tớ có:
\\(0 = Phường - S^2 + T - PS + T - PS = Phường - 2PS + 2T\\)
Điều này đồng nghĩa tương quan với việc \\(P - 2PS + 2T = 0\\) hoặc \\(2T = 2PS - P\\).
Nhưng theo đuổi lăm le lý Viet, tớ biết rằng:
\\(P = \\frac{c}{a}\\)
\\(T = -\\frac{d}{a}\\)
\\(S = -\\frac{b}{a}\\)
Thế nhập phương trình \\(2T = 2PS - P\\), tớ được:
\\(-\\frac{2d}{a} = 2\\left(-\\frac{cb}{a^2}\\right) - \\frac{c}{a}\\)
Tóm lại, tớ có:
\\(\\frac{2cd - 2c(ab)}{a^2} = \\frac{-2d}{a}\\)
Simplifying this equation, we get:
\\(2cd - 2c(ab) = -2d\\)
\\(2cd + 2d = 2c(ab)\\)
\\(2d(c + 1) = 2c(ab)\\)
\\(d(c + 1) = cab\\)
Ở phía trên, tớ thấy phía phía bên trái là một vài chẵn, trong những lúc phía ở bên phải là một vài lẻ. Điều này sẽ không thể xẩy ra, bởi vậy fake thiết ban sơ của tớ là sai. Vậy nếu như phương trình bậc 3 sở hữu nghiệm phân biệt, thì tất cả chúng ta chỉ hoàn toàn có thể sở hữu tối nhiều 3 nghiệm phân biệt.
Như vậy, phía trên đó là nguyên nhân vì sao nhập lăm le lý Viet của phương trình bậc 3, chỉ hoàn toàn có thể sở hữu tối nhiều 3 nghiệm phân biệt.