Bài viết lách chỉ dẫn cách thức viết lách phương trình tiếp tuyến của đường tròn vừa lòng ĐK mang lại trước nhập hệ trục tọa phỏng Oxy, kiến thức và kỹ năng và những ví dụ nhập nội dung bài viết được tìm hiểu thêm kể từ những tư liệu cách thức tọa phỏng nhập mặt mày phẳng lặng được đăng lên bên trên TOANMATH.com.
Phương pháp
Cho lối tròn xoe $(C)$: ${\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}$. $(C)$ với tâm $I(a;b)$ và nửa đường kính $R$. Ta xét những dạng toán sau:
Bạn đang xem: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (Oxy) - TOANMATH.com
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến với lối tròn xoe $(C)$ bên trên điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right).$
Giải: Gọi $Δ$ là tiếp tuyến với lối tròn xoe $(C)$. Vì $Δ$ xúc tiếp với $(C)$ bên trên $M$ $⇒$ $Δ$ trải qua $M$ và nhận $\overrightarrow {IM} \left( {{x_0}-a;{\rm{ }}{y_0}-b} \right)$ làm vectơ pháp tuyến $⇒$ phương trình $Δ$ với dạng: $\left( {{x_0}–a} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + \left( {{y_0}–a} \right)\left( {y – {y_0}} \right) = 0$ $(1).$
Chú ý:
+ Phương trình $(1)$ rất có thể biến hóa về dạng sau: $\left( {{x_0}–a} \right)\left( {x – a} \right) + \left( {{y_0}–a} \right)\left( {y – b} \right) = {R^2}$ $(1a).$
+ Nếu phương trình lối tròn xoe mang lại ở dạng: ${x^2} + {y^2} – 2ax – 2by + c = 0$ thì tiếp tuyến của lối tròn xoe bên trên điểm $M\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ có dạng: $x{x_0} + y{y_0}–\left( {x + {x_0}} \right)a – \left( {y + {y_0}} \right)b + c = 0$ $(1b)$ (Phương trình này được suy đi ra thẳng kể từ $(1a)$).
Cách xây dựng phương trình tiếp tuyến ở dạng $(1a)$ và $(1b)$ gọi là “phương pháp phân song toạ độ”.
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến với lối tròn xoe kẻ từ 1 điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ không nằm trong lối tròn xoe.
Bài toán này còn có nhị cơ hội giải như sau:
Cách 1:
+ Xét đường thẳng liền mạch $Δ$ trải qua $M$ và vuông góc với $Ox$. Khi ê $Δ$ với phương trình là $x = {x_0}.$ $Δ$ là tiếp tuyến của lối tròn xoe $ \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R.$ Từ đẳng thức này tiếp tục suy đi ra được $Δ$ liệu có phải là tiếp tuyến của lối tròn xoe hay là không.
+ Xét đường thẳng liền mạch $Δ$ trải qua $M$ và với thông số góc là $k$. Phương trình của $Δ$ với dạng: $y = k\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}.$ $Δ$ xúc tiếp với $(C)$ $ \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R.$ Giải ĐK này tao tiếp tục tìm kiếm được $k$.
Chú ý: Để chứng tỏ một điểm $M$ ở ngoài lối tròn xoe tao thực hiện như sau:
– Tính $IM$.
– So sánh $IM$ với $R$:
+ Nếu $IM > R$ thì $M$ ở ngoài lối tròn xoe.
+ Nếu $IM < R$ thì $M$ nằm trong lối tròn xoe.
+ Nếu $IM = R$ thì $M$ phía trên lối tròn xoe.
Cách 2:
+ Đường trực tiếp $Δ$ trải qua $M$ với phương trình: $a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y – {y_0}} \right) = 0$, trong ê ${a^2} + {b^2} \ne 0.$
+ $Δ$ là tiếp tuyến với lối tròn xoe $(C)$ $ \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R$ $(*).$
+ Từ ĐK $(*)$, mò mẫm nguyệt lão tương tác đằm thắm $a$ và $b$. Vì $a$ và $b$ ko mặt khác vày $0$ nên rất có thể lựa chọn $a$ một độ quý hiếm tương thích rồi suy đi ra $b$ hoặc ngược lại.
Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến với lối tròn xoe biết tiếp tuyến với thông số góc là $k$.
Giải:
+ Phương trình đường thẳng liền mạch $Δ$ với thông số góc $k$ với dạng: $y = kx + m.$
+ $Δ$ xúc tiếp với $(C)$ $ \Leftrightarrow d(I;\Delta ){\rm{ }} = {\rm{ }}R$. Giải ĐK này tao tiếp tục tìm kiếm được $m$.
Chú ý:
+ Nếu tiếp tuyến $Δ$ tuy nhiên song với lối thẳng: $ax + by + c = 0$ thì phương trình $Δ$ sẽ sở hữu được dạng: $ax + by + c’ = 0 (c’ ≠ c).$
+ Nếu tiếp tuyến $Δ$ vuông góc với lối thẳng: $ax + by + c = 0$ thì phương trình $Δ$ sẽ sở hữu được dạng: $-bx + ay + c’ = 0 (c’ ≠ c).$
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho lối tròn xoe $(C)$ với phương trình: ${x^2} + {y^2} – 6x + 2y + 6 = 0$ và điểm $A(1;3)$.
a. Chứng minh rằng điểm $A$ ở ngoài lối tròn xoe.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ kẻ kể từ $A$.
Đường tròn xoe $(C)$ với tâm $I(3;-1)$ nửa đường kính $R = 2$.
a. Ta có: $IA = 2\sqrt 5 > R$ ⇒ $A$ ở ngoài lối tròn xoe $(C)$.
b. Ta giải việc này bám theo nhị cách:
Cách 1: Phương trình đường thẳng liền mạch trải qua $A$ với vectơ pháp tuyến là $(a;b)$ với dạng:
$a\left( {x–2} \right) + b\left( {y–6} \right) = 0$ $({a^2} + {b^2} \ne 0).$
Đường trực tiếp này là tiếp tuyến của lối tròn xoe $ \Leftrightarrow d\left( {I,d} \right) = R$
$ \Leftrightarrow \frac{{\left| {a(3 – 1) + b( – 1 – 3)} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2$ $ \Leftrightarrow {\left( {a – 2b} \right)^2} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ $ \Leftrightarrow 3{b^2} – 4ab = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = 0\\
b = \frac{4}{3}a
\end{array} \right.$
+ Nếu $b = 0$, vì thế $a ≠ 0$ lựa chọn $a = 1$ $⇒$ phương trình tiếp tuyến với dạng: $x = 1$.
+ Nếu $b = \frac{4}{3}a.$ Chọn $a = 3, b = 4$ thì phương trình tiếp tuyến với dạng: $3x – 4y – 15 = 0.$
Vậy qua chuyện $A$ kẻ được nhị tiếp tuyến với $(C)$ là: $x = 1$ và $3x – 4y – 15 = 0.$
Cách 2:
+ Xét $Δ$ trải qua $A$ và vuông góc với $Ox$ $⇒$ phương trình $Δ:$ $x = 1$ hoặc $x – 1 = 0.$
$Δ$ là tiếp tuyến của $(C)$ $ \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R$ $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 – 1} \right|}}{{\sqrt 1 }} = 2.$ Đẳng thức này chính nên $x = 1$ là tiếp tuyến của $(C).$
+ Xét $Δ$ trải qua $A$ và với thông số góc là $k$. Phương trình của $Δ$ là: $y = k(x – 1) + 3$ hoặc $kx – hắn + 3 – k = 0.$
$Δ$ tiếp xúc với $(C)$ $ \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R$ $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {3k + 1 + 3 – k} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 2.$
${\left( {k + 2} \right)^2} = {k^2} + 1 \Leftrightarrow k = – \frac{3}{4}$ ⇒ ta được tiếp tuyến: $y = – \frac{3}{4}\left( {x–1} \right) + 3$ $ \Leftrightarrow 3x + 4y–15 = 0.$
Nhận xét: Trong cơ hội giải 2, tao cần xét nhị tình huống tuy nhiên tiếng giải của từng tình huống lại khá cộc gọn gàng và giản dị và đơn giản. Phù phù hợp với đối tượng người sử dụng học viên tuy nhiên kĩ năng đo lường và tính toán còn giới hạn. Một sai lầm không mong muốn tuy nhiên học viên thông thường phạm phải khi giải Theo phong cách này này là ko xét tình huống loại nhất tức là tiếp tuyến vuông góc với $Ox$ (đường trực tiếp không tồn tại thông số góc) và bởi vậy việc tiếp tục tổn thất nghiệm.
Ví dụ 2: Cho lối tròn xoe với phương trình là: ${x^2} + {y^2} + 4x + 4y – 17 = 0.$ Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của lối tròn xoe trong những tình huống sau:
a. Điểm xúc tiếp là $M(2;1).$
b. $d$ trải qua $A(3;6).$
c. $d$ tuy nhiên song với đường thẳng liền mạch $3x – 4y – 2008 = 0.$
Xem thêm: Đặt vé máy bay Tết 2025 Ất Tỵ giá rẻ online
Đường tròn xoe này còn có tâm $I(-2;-2)$, nửa đường kính $R = 5.$
a. Đây là sự tiếp tuyến loại nhất.
Theo cách thức phân song toạ phỏng $⇒$ Phương trình tiếp tuyến với lối tròn xoe bên trên $M(2;1)$ là:
$2x +1.hắn + 2(x + 2) + 2(y + 1) – 17 = 0$
$⇔ 4x + 3y – 11 = 0.$
b. Đây là sự tiếp tuyến loại nhị.
Phương trình đường thẳng liền mạch trải qua $A$ với vectơ pháp tuyến là $(a;b)$ với dạng:
$a(x – 2) + b(y – 6) = 0.$
Đường trực tiếp này là tiếp tuyến của lối tròn xoe $⇔ d(I,d) = R$
$ \Leftrightarrow \frac{{\left| {a( – 2 – 3) + b( – 2 – 6)} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5$
$ \Leftrightarrow {\left( {5a + 8b} \right)^2} = 25\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ $ \Leftrightarrow 39{b^2} + 80ab = 0.$
+ Nếu $b = 0$, vì thế $a ≠ 0$ lựa chọn $a = 1$ $⇒$ phương trình tiếp tuyến với dạng: $x = 2.$
+ Nếu $b \ne 0 \Rightarrow a{\rm{ }} = \frac{{ – 39}}{{80}}b.$ Chọn $a = -39, b = 80$, phương trình tiếp tuyến với dạng: $-39x + 80y – 402 = 0.$
Vậy với nhị tiếp tuyến thoả mãn đầu bài xích.
c. Đây là sự tiếp tuyến loại phụ thân.
Phương trình đường thẳng liền mạch tuy nhiên song với đường thẳng liền mạch $3x – 4y – 2008 = 0$ với dạng: $3x – 4y + c = 0.$
Đường trực tiếp này là tiếp tuyến với lối tròn xoe $ \Leftrightarrow d(I;{d_3}) = R$ $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.( – 2) – 4( – 2) + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 5$ $ \Leftrightarrow \left| {2 + c} \right| = 25$ $⇒$ $c = 23$ hoặc $c = -27.$
Vậy với nhị tiếp tuyến thoả mãn là: $3x – 4y + 23 = 0$ hoặc $3x – 4y – 27 = 0.$
Ví dụ 3: Cho lối tròn xoe ${x^2} + {y^2} – 2x – 6y + 6 = 0$ và điểm $M(2;4).$
a. Viết phương trình đường thẳng liền mạch trải qua $M$ tách lối tròn xoe bên trên hai điểm $A, B$ sao mang lại $M$ là trung điểm của đoạn trực tiếp $AB.$
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn với thông số góc $k = -1.$
Đường tròn xoe này còn có tâm $I(1;3)$ và nửa đường kính $R = 2.$
a. Ta có: $IM = \sqrt 2 < 2 = R$ $⇒$ $M$ nằm trong lối tròn xoe. Vậy từng đường thẳng liền mạch trải qua $M$ đều tách lối tròn xoe bên trên nhị điểm phân biệt.
Đường trực tiếp $Δ$ trải qua $M$ tách lối tròn xoe bên trên nhị điểm $A$ và $B$ sao mang lại $M$ là trung điểm của $AB$ $⇒$ $IM ⊥ AB$ ⇒ $Δ$ nhận $\overrightarrow {IM} (1;1)$ làm vectơ pháp tuyến $⇒$ phương trình của $Δ$: $x – 2 + hắn – 4 = 0$ ⇔ $x + hắn – 6 = 0.$
b. Phương trình của $Δ$ với thông số góc là $k = -1$: $y = -x + m$ hoặc $x + hắn – m = 0$
$Δ$ tiếp xúc với $(C)$ $ \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R$ $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + 3 – m} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = 2$
${\left( {4 – m} \right)^2} = {\rm{ }}8$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 4 – 2\sqrt 2 \\
m = 4 + 2\sqrt 2
\end{array} \right.$
Vậy với nhị tiếp tuyến thoả mãn đề bài xích là: $x + hắn – 4 + 2\sqrt 2 = 0$ và $x + hắn – 4 – 2\sqrt 2 = 0.$
Ví dụ 4: Cho lối tròn xoe $(C):{x^2} + {y^2} + 2x – 4y – 4 = 0$ và điểm $A(2;5).$ Lập phương trình tiếp tuyến kẻ kể từ $A$ cho tới lối tròn xoe. Giả sử tiếp tuyến này xúc tiếp với lối tròn xoe bên trên nhị điểm $M, N$. Hãy tính phỏng lâu năm $MN.$
Xem thêm: 5 web vẽ bằng AI này sẽ khiến bạn phải bất ngờ | Sapo.vn
Qua $A$ tao kẻ được nhị tiếp tuyến với lối tròn xoe là: $x = 2$ và $y = 5$.
Toạ phỏng của điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
{x^2} + {y^2} – 2x – 6y + 6 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 2
\end{array} \right.$ $⇒ M(2;2).$
Toạ phỏng của điểm $N$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
y = 5\\
{x^2} + {y^2} – 2x – 6y + 6 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = – 1\\
y = 5
\end{array} \right.$ $⇒ N(-1;5).$
Suy ra: $MN = \sqrt {{{\left( { – 1 – 2} \right)}^2} + {{(5 – 2)}^2}} = 3\sqrt 2 .$
Ví dụ 5: Cho $(C):{x^2} + {y^2} – 2x + 2y – 3 = 0.$ Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến tách tia $Ox, Oy$ theo thứ tự bên trên $A$ và $B$ sao mang lại $ΔABC$ với diện tích S vày $4.$
$(C)$ với tâm $I(1;-1)$ và chào bán kính $R = \sqrt 5 .$
Giả sử $A(a;0), B(0;b)$ nhập ê $a > 0$ và $b > 0.$
Phương trình đường thẳng liền mạch $AB$ với dạng: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ $ \Leftrightarrow bx + ay – ab = 0.$
${S_{AOB}} = 4$ $ \Rightarrow \frac{1}{2}\left| {ab} \right| = 4 \Rightarrow ab = 8.$
$AB$ xúc tiếp với $(C)$ $ \Rightarrow d\left( {I,AB} \right) = R$ $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {b – a – ab} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt 5 $ $ \Rightarrow b–a = – 2$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4\\
b = 2
\end{array} \right.$
Vậy phương trình $AB: x + 2y – 4 = 0.$
Bình luận