ĐK học Toán: 0946 - 108 - 57979 - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Trong quy trình giảng dạy dỗ và thực hiện toán, tôi vẫn khối hệ thống được một vài cách thức giải phương trình nghiệm nguyên vẹn, hy vọng sẽ hỗ trợ những em học viên biết lựa lựa chọn cách thức tương thích Khi giải câu hỏi loại này.

Phương pháp 1 : Đưa về dạng tích

Bạn đang xem: ĐK học Toán: 0946 - 108 - 57979 - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Biến thay đổi phương trình về dạng : vế trái khoáy là tích của những nhiều thức chứa chấp ẩn, vế nên là tích của những số nguyên vẹn.

Thí dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên vẹn của phương trình :

y³ - x³ = 91 (1)

Lời giải : (1) tương tự với (y - x)(x² + xy + y²) = 91 (*)

Vì x² + xy + y² > 0 với từng x, hắn nên kể từ (*) => hắn - x > 0.

Mặt không giống, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và hắn - x ; x² + xy + y² đều nguyên vẹn dương nên tao sở hữu tư kỹ năng sau :

y - x = 91 và x² + xy + y² = 1 ; (I)

y - x = 1 và x² + xy + y² = 91 ; (II)

y - x = 3 và x² + xy + y² = 7 ; (III)

y - x = 7 và x² + xy + y² = 13 ; (IV)

Đến phía trên, câu hỏi coi như được giải quyết và xử lý.

Phương pháp 2 : Sắp trật tự những ẩn

Nếu những ẩn x, hắn, z, ... sở hữu tầm quan trọng đồng đẳng, tao rất có thể fake sử x ≤ hắn ≤ z ≤ ... nhằm mò mẫm những nghiệm thỏa mãn nhu cầu ĐK này. Từ bại, sử dụng luật lệ thiến nhằm => những nghiệm của phương trình vẫn mang đến.

Thí dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên vẹn dương của phương trình :

x + hắn + z = xyz (2).

Lời giải :

Do tầm quan trọng đồng đẳng của x, hắn, z nhập phương trình, trước không còn tao xét x ≤ hắn ≤ z.

Vì x, hắn, z nguyên vẹn dương nên xyz ≠ 0, tự x ≤ hắn ≤ z => xyz = x + hắn + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy nằm trong {1 ; 2 ; 3}.

Nếu xy = 1 => x = hắn = 1, thay cho nhập (2) tao sở hữu : 2 + z = z, bất hợp lí.

Nếu xy = 2, tự x ≤ hắn nên x = 1 và hắn = 2, thay cho nhập (2), => z = 3.

Nếu xy = 3, tự x ≤ hắn nên x = 1 và hắn = 3, thay cho nhập (2), => z = 2.

Vậy nghiệm nguyên vẹn dương của phương trình (2) là những thiến của (1 ; 2 ; 3).

Thí dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên vẹn dương của phương trình :

1/x + 1/y + 1/z = 2 (3)

Lời giải : Do tầm quan trọng đồng đẳng của x, hắn, z, trước không còn tao xét x ≤ hắn ≤ z. Ta sở hữu :

2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = 1.

Thay x = 1 nhập (3) tao sở hữu :

1/y + 1/z + 1 = 2 => 1 = 1/y + 1/z ≤ 2/y => hắn ≤ 2

=> hắn = 1 => 1/z = 0 (vô lí)

hoặc hắn = 2 => 1/z = 2 => z = 2.

Vậy nghiệm nguyên vẹn dương của phương trình (3) là những thiến của (1 ; 2 ; 2).

Phương pháp 3 : Sử dụng đặc điểm phân chia hết

Phương pháp này dùng đặc điểm phân chia không còn nhằm minh chứng phương trình vô nghiệm hoặc mò mẫm nghiệm của phương trình.

Thí dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên vẹn của phương trình :

x² - 2y² = 5 (4)

Lời giải : Từ phương trình (4) tao => x nên là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k nằm trong Z) nhập (4), tao được :

4k² +4k + 1 - 2y² = 5

Xem thêm: Đổi vé máy bay Vietnam Airlines: điều kiện, chi phí?

tương đương 2(k² + k - 1) = y²

=> y² là số chẵn => hắn là số chẵn.

Đặt hắn = 2t (t nằm trong Z), tao sở hữu :

2(k² + k - 1) = 4t²

tương đương k(k + 1) = 2t² + 1 (**)

Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t² + một là số lẻ => phương trình (**) vô nghiệm.

Vậy phương trình (4) không tồn tại nghiệm nguyên vẹn.

Thí dụ 5 : Chứng minh rằng ko tồn bên trên những số nguyên vẹn x, hắn, z thỏa mãn nhu cầu :

x³ + y³ + z³ = x + hắn + z + 2000 (5)

Lời giải : Ta sở hữu x³ - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyên vẹn tiếp tục (với x là số nguyên). Do bại : x³ - x phân chia không còn mang đến 3.

Tương tự động y³ - hắn và z³ - z cũng phân chia không còn mang đến 3. Từ bại tao sở hữu : x³ + y³ + z³ - x - hắn - z phân chia không còn mang đến 3.

Vì 2000 ko phân chia không còn mang đến 3 nên x³ + y³ + z³ - x - hắn - z ≠ 2000 với từng số nguyên vẹn x, hắn, z tức là phương trình (5) không tồn tại nghiệm nguyên vẹn.

Thí dụ 6 : Tìm nghiệm nguyên vẹn của phương trình :

xy + x - 2y = 3 (6)

Lời giải : Ta sở hữu (6) tương tự y(x - 2) = - x + 3. Vì x = 2 ko thỏa mãn nhu cầu phương trình nên (6) tương tự với:

y = (-x + 3)/(x - 2) tương tự hắn = -1 + 1/(x - 2).

Ta thấy : hắn là số nguyên vẹn tương tự với x - 2 là ước của một hoặc x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 tương tự với x = 1 hoặc x = 3. Từ bại tao sở hữu nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0).

Chú ý : cũng có thể sử dụng cách thức 1 nhằm giải câu hỏi này, nhờ trả phương trình (6) về dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = 1 tương tự (x - 2)(y + 1) = 1.

Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức

Dùng bất đẳng thức nhằm Review một ẩn này bại và kể từ sự Review này => những độ quý hiếm nguyên vẹn của ẩn này.

Thí dụ 7 : Tìm nghiệm nguyên vẹn của phương trình :

x² - xy + y² = 3 (7)

Lời giải :

(7) tương tự với (x - y/2)² = 3 - 3y²/4

Vì (x - y/2)² ≥ 0 => 3 - 4y²/4 ≥ 0

=> -2 ≤ hắn ≤ 2 .

Lần lượt thay cho hắn = -2 ; 2 ; -1 ; 1 ; 0 nhập phương trình nhằm tính x. Ta sở hữu những nghiệm nguyên vẹn của phương trình là :

(x ; y) nằm trong {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)}.

Chắc chắn còn nhiều cách thức nhằm giải phương trình nghiệm nguyên vẹn và còn nhiều ví dụ thú vị không giống. Mong chúng ta nối tiếp trao thay đổi về yếu tố này. Các chúng ta cũng demo giải một vài phương trình nghiệm nguyên vẹn tại đây :

Bài 1 : Giải những phương trình nghiệm nguyên vẹn :

a) x² - 4 xy = 23 ;

b) 3x - 3y + 2 = 0 ;

c) 19x² + 28y² =729 ;

d) 3x² + 10xy + 8y² = 96.

Bài 2 : Tìm x, hắn nguyên vẹn dương thỏa mãn nhu cầu :

a) 4xy - 3(x + y) = 59 ;

Xem thêm: Cách vẽ chân mày phẩy sợi đẹp TỰ NHIÊN cho người mới

b) 5(xy + yz + zx) = 4xyz ;

c) xy/z + yz/x + zx/y = 3 ;

d) 1/x + 1/y + 1/z = 1/1995.