Cách tìm Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng cực hay

---

Cách lần Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mũi bằng phẳng rất rất hay

Với Cách lần Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mũi bằng phẳng rất rất hoặc Toán lớp 12 bao gồm tương đối đầy đủ cách thức giải, ví dụ minh họa và bài xích tập dượt trắc nghiệm đem điều giải cụ thể sẽ hỗ trợ học viên ôn tập dượt, biết phương pháp thực hiện dạng bài xích tập dượt lần Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mũi bằng phẳng kể từ cơ đạt điểm trên cao nhập bài xích thi đua môn Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Cách tìm Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng cực hay

A. Phương pháp giải

Cách xác đánh giá chiếu của một điểm A lên đường thẳng liền mạch d

- Viết phương trình mặt mũi bằng phẳng (P) chứa chấp điểm A và vuông góc với d

- Tìm H là gửi gắm điểm của d và (P) => H là gửi gắm điểm của A bên trên d

Cách xác đánh giá chiếu của một điểm A lên phía trên mặt bằng phẳng (P)

- Viết phương trình đường thẳng liền mạch trải qua A và vuông góc với (P)

- Tìm H là gửi gắm điểm của d và (P) => H là gửi gắm điểm của A bên trên (P)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Tìm hình chiếu vuông góc của A(1; 2; 1) bên trên đường thẳng liền mạch d:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường trực tiếp d đem vecto chi phương .

+ Gọi mặt mũi bằng phẳng (P) chứa chấp điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d thực hiện vectơ pháp tuyến nên tớ đem phương trình của (P) là:

1(x – 1) + 2. (y – 2) – 2.(z – 1) = 0 hoặc x + 2y – 2z – 3 = 0

+ Tìm H là gửi gắm điểm của d và (P)

Tọa phỏng H( t – 2; 2t + 1; -2t – 1) thỏa mãn nhu cầu :

(t-2) + 2(2t+1) – 2(-2t-1) – 3 = 0 <=> t = 1/9

Vậy H là hình chiếu của A bên trên d và

Chọn A.

Ví dụ: 2

Cho M(1; -1; 2) và mặt mũi bằng phẳng (P): 2x – nó + 2z +2 = 0 Tìm tọa phỏng hình chiếu vuông góc H của M bên trên mặt mũi bằng phẳng (P)

A. ( 2; 1; 0)

B. ( - 2;0; 1)

C.(-1; 0; 0)

D. ( 0; 2; 1)

Hướng dẫn giải

+ Mặt bằng phẳng (P) đem vecto pháp tuyến .

Đường trực tiếp d trải qua M và vuông góc với (P) nhận vectơ pháp tuyến của (P) thực hiện vectơ chỉ phương

Phương trình của d là:

+ Tìm H là gửi gắm điểm của d và (P)

Tọa phỏng của H(1+2t, -1-t; 2+2t) thỏa mãn:

2(1+2t) – (-1-t) + 2(2+2t) + 2 = 0

⇔ 2+ 4t + 1+ t + 4 + 4t + 2 = 0

⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t= - 1 nên H ( - 1; 0; 0)

Chọn C.

Ví dụ: 3

Cho điểm M (2; -1; 8) và đường thẳng liền mạch . Tìm tọa phỏng H là hình chiếu vuông góc của điểm M bên trên d.

A. ( 1; 2; 1)

B.( 5; - 3; 4)

C. ( -2; 1;3)

D. ( 1;1;3)

Hướng dẫn giải

Phương trình thông số của d là:

Xét điểm H(1+2t; -t-1; 2t) nằm trong d

Đường trực tiếp d đem vecto chỉ phương

H là hình chiếu vuông góc của M bên trên d khi và chỉ khi

⇔ 2(2t-1) – 1(-t) + 2(2t-8) = 0

⇔ 4t- 2+ t + 4t – 16 = 0

⇔ 9t – 18= 0 nên t= 2

=> Hình chiếu vuông góc của M lên d là H(5; - 3; 4)

Chọn B.

Ví dụ: 4

Trong không khí với hệ tọa phỏng Oxyz; mang đến đường thẳng liền mạch và điểm M( -1; 3; 0). Xác đánh giá chiếu của điểm M bên trên lối trực tiếp d?

A. ( -1;3; 0)

B. ( -2; 1; 0)

C. ( -1; 2; 1)

D. ( - 2; -1; 1)

Hướng dẫn giải

Thay tọa phỏng điểm M nhập phương trình đường thẳng liền mạch d tớ được:

=> Điểm M nằm trong đường thẳng liền mạch d nên hình chiếu của điểm M bên trên lối trực tiếp d là chủ yếu điểm M .

Chọn A.

Ví dụ: 5

Trong không khí với hệ tọa phỏng Oxyz; mang đến mặt mũi bằng phẳng (P): x+ 2y – z+ 5= 0 và điểm M( -1; 2; 1). Xác quyết định hình chiếu của M lên phía trên mặt bằng phẳng (P)

A. ( 1; 0; 2)

B. ( -1; 0; 2)

C. (- 2; 0; 2)

D. ( -1; 2; -2)

Hướng dẫn giải

+Mặt bằng phẳng (P) đem vecto pháp tuyến

+ Gọi d là lối trực tiếp trải qua M ( -1; 2; 1) và vuông góc với mặt mũi bằng phẳng (P) nên lối trực tiếp d nhận vecto thực hiện vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng liền mạch d:

+ Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên mặt mũi bằng phẳng (P) đó là gửi gắm điểm của lối trực tiếp d và mặt mũi bằng phẳng (P).

Thay x= - 1+ t; y= 2+ 2t;z= 1- t nhập phương trình mặt mũi bằng phẳng (P) tớ được:

( -1+ 2t)+ 2(2+ 2t) – ( 1- t) + 5= 0

⇔ - 1+ 2t+ 4 + 4t – 1+ t+ 5= 0

⇔ 7t+ 7= 0 ⇔ t= - 1 nên H( -2; 0; 2)

Chọn C.

Ví dụ: 6

Trong không khí với hệ tọa phỏng Oxyz; mang đến đường thẳng liền mạch và điểm M(1; 1; 1). Xác quyết định điểm M’ đối xứng với M qua chuyện d?

A.( 1; 0; - 2)

B. ( -2; 1; 1)

C. ( 1; 2; 3)

D. (- 1; 0; 6)

Hướng dẫn giải

+ Đường trực tiếp d trải qua A(0; 0; 2) và đem vecto chỉ phương

+ Gọi (P) là mặt mũi bằng phẳng qua chuyện M và vuông góc với lối trực tiếp d nên mặt mũi bằng phẳng (P) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng liền mạch d thực hiện vecto pháp tuyến

=> Phương trình mặt mũi bằng phẳng (P):

-1( x- 1) + 2( y-1) + 1( z- 1) = 0 hoặc – x + 2y + z – 2= 0

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi cơ H đó là gửi gắm điểm của đường thẳng liền mạch d và mặt mũi bằng phẳng (P)

+ Điểm H nằm trong lối trực tiếp d nên H(- t; 2t; 2+ t) . Thay tọa phỏng H nhập phương trình mặt mũi bằng phẳng (P) tớ được:

- ( - t) + 2. 2t+ 2+ t- 2= 0 ⇔ 6t = 0 ⇔ t= 0

=> Hình chiếu của M lên d là H ( 0; 0; 2)

+ Do M’ đối xứng với M qua chuyện d nên H là trung điểm của MM’.

=> Tọa phỏng điểm M’( - 1; 0; 6 )

Chọn D.

Ví dụ: 7

Trong không khí với hệ tọa phỏng Oxyz; mang đến mặt mũi bằng phẳng (P): x- 2y - 4= 0 và điểm A( 1; 1; 0). Gọi A’ là vấn đề đối xứng với A qua chuyện (P). Tìm A’.

A. ( 3; -3; 0)

B. ( -2; 1; 3)

C. ( 0;2; -1)

D. (-2; 3; 1)

Hướng dẫn giải

+ Mặt bằng phẳng (P) đem vecto pháp tuyến .

+ Gọi d là đường thẳng liền mạch trải qua A( 1; 1; 0) và vuông góc với mặt mũi bằng phẳng (P). Khi cơ đường thẳng liền mạch d đem vecto chỉ phương là ( 1; -2; 0)

=> Phương trình đường thẳng liền mạch

+ Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt mũi bằng phẳng ( P). Khi đó; H đó là gửi gắm điểm của lối trực tiếp d và mặt mũi bằng phẳng (P):

=> H( 1+ t; 1- 2t; 0) thay cho nhập phương trình mặt mũi bằng phẳng (P) tớ có:

1+ t – 2( 1- 2t) - 4= 0 hoặc t= 1

=> H( 2; - 1; 0) .

Xem thêm: Cúng đưa ông Táo về trời lúc mấy giờ tốt nhất?

Vậy hình chiếu vuông góc của A lên ( P) là H( 2; -1; 0) .

+ Do A’ là điểm đối xứng với A qua chuyện (P) nên H là trung điểm của AA’.

=> Tọa phỏng A’(3; -3; 0)

Chọn A.

C. Bài tập dượt vận dụng

Câu 1:

Tìm hình chiếu vuông góc của A(- 2; 1;0) bên trên đường thẳng liền mạch

A. ( -2; 0; 1)

B. ( 2; -1;- 5)

C. ( 0;3;-3)

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường trực tiếp d đem vecto chi phương .

+ Gọi mặt mũi bằng phẳng (P) chứa chấp điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d thực hiện vectơ pháp tuyến nên tớ đem phương trình của (P) là:

- 2(x + 2) + 1. (y – 1) – 2.(z – 0) = 0 hoặc - 2x + y- 2z – 5= 0

+ Tìm H là gửi gắm điểm của d và (P)

Tọa phỏng H( - 2t; t; -7- 2t) thỏa mãn nhu cầu :

- 2(- 2t) + t – 2( -7- 2t) – 5= 0

⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t= - 1

Vậy H là hình chiếu của A bên trên d và H(2; -1; -5)

Chọn B.

Câu 2:

Cho M( 0; 1; 3) và mặt mũi bằng phẳng (P): x + nó - z +2 = 0. Gọi H ( a; b; c ) là hình chiếu vuông góc của M bên trên mặt mũi bằng phẳng (P). Tính a+ b + c?

A. - 2

B. 6

C. - 4

D. 4

Lời giải:

+ Mặt bằng phẳng (P) đem vecto pháp tuyến

Đường trực tiếp d trải qua M và vuông góc với (P); nhận vectơ pháp tuyến của (P) thực hiện vectơ chỉ phương

Phương trình của d là:

+ Tìm H là gửi gắm điểm của d và (P)

Tọa phỏng của H( t; 1+ t; 3- t) thỏa mãn: t+ 1+ t- ( 3- t) + 2= 0

⇔ 3t= 0 nên t= 0

=> Tọa phỏng H( 0;1;3)

=> a+ b+ c= 0+1+3 = 4

Chọn D.

Câu 3:

Cho điểm M ( - 2; 1; - 2) và đường thẳng liền mạch Tìm tọa phỏng H là hình chiếu vuông góc của điểm M bên trên d.

A. ( 1; 2; 1)

B.( 0; 2; 2)

C. ( - 1; 2; 0)

D. (0; 1; 0)

Lời giải:

Xét điểm H(-t; 2- 2t; 2+ t) nằm trong d

Đường trực tiếp d đem vecto chỉ phương

H là hình chiếu vuông góc của M bên trên d khi và chỉ khi

⇔ - 1( - t+ 2)- 2( 1- 2t) + 1( 4+ t) = 0

⇔ t- 2- 2+ 4t + 4+ t = 0

⇔ 6t = 0 nên t= 0

=> Hình chiếu vuông góc của M lên d là H( 0; 2; 2)

Chọn B.

Câu 4:

Trong không khí với hệ tọa phỏng Oxyz; mang đến đường thẳng liền mạch và điểm M( -2; 1; 0). Xác đánh giá chiếu của điểm M bên trên lối trực tiếp d?

A. (1; 0; -2)

B. ( -2; 1; 0)

C. ( -1; 2; 1)

D. ( - 2; -1; 1)

Lời giải:

Thay tọa phỏng điểm M nhập phương trình đường thẳng liền mạch d tớ được:

=> Điểm M nằm trong đường thẳng liền mạch d nên hình chiếu của điểm M bên trên lối trực tiếp d là chủ yếu điểm M .

Chọn B.

Câu 5:

Trong không khí với hệ tọa phỏng Oxyz; mang đến mặt mũi bằng phẳng (P): x+ 2z+ 3= 0 và điểm M(-2; 1; 2). Xác quyết định hình chiếu của M lên phía trên mặt bằng phẳng (P)

A. ( 1; 0; 2)

B. ( -1; 0; 2)

C. (- 2; 0; 2)

D. ( -3; 1; 0)

Lời giải:

+Mặt bằng phẳng (P) đem vecto pháp tuyến

+ Gọi d là lối trực tiếp trải qua M (- 2; 1; 2) và vuông góc với mặt mũi bằng phẳng (P) nên lối trực tiếp d nhận vecto thực hiện vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng liền mạch d:

+ Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên mặt mũi bằng phẳng (P) đó là gửi gắm điểm của lối trực tiếp d và mặt mũi bằng phẳng (P).

Thay x= - 2+ t; y= 1 và z= 2+ 2t nhập phương trình mặt mũi bằng phẳng (P) tớ được:

- 2+ t + 2( 2+ 2t) + 3= 0

⇔ 5t + 5= 0 ⇔ t= - 1 nên H( - 3; 1; 0)

Chọn D.

Câu 6:

Trong không khí với hệ tọa phỏng Oxyz; mang đến đường thẳng liền mạch và điểm M( 1; 0; 2). Xác quyết định điểm M’ đối xứng với M qua chuyện d?

A.

B. ( -2; 1; 1)

C.

D. ( 2; 2; 1)

Lời giải:

+ Đường trực tiếp d đem vecto chỉ phương

+ Gọi (P) là mặt mũi bằng phẳng qua chuyện M( 1; 0; 2) và vuông góc với lối trực tiếp d nên mặt mũi bằng phẳng (P) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng liền mạch d thực hiện vecto pháp tuyến

=> Phương trình mặt mũi bằng phẳng (P):

1( x- 1) - 1( y-0) + 1( z- 2) = 0 hoặc x - nó + z – 3= 0

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi cơ H đó là gửi gắm điểm của đường thẳng liền mạch d và mặt mũi bằng phẳng (P)

+ Điểm H nằm trong lối trực tiếp d nên H(t; -t; 2+ t) . Thay tọa phỏng H nhập phương trình mặt mũi bằng phẳng (P) tớ được:

t- ( - t) + 2+ t- 3= 0 ⇔ 3t- 1= 0 ⇔ t= 1/3

=> Hình chiếu của M lên d là

+ Do M’ đối xứng với M qua chuyện d nên H là trung điểm của MM’.

=> Tọa phỏng điểm M’

Chọn C.

Câu 7:

Trong không khí với hệ tọa phỏng Oxyz; mang đến mặt mũi bằng phẳng (P): x - 2y- 3z - 11= 0 và điểm A( 2; 1; 1). Gọi A’ là vấn đề đối xứng với A qua chuyện (P). Tìm A’.

A. ( 4; - 3; - 5)

B. ( -2; 1; 3)

C. ( 0;2; -1)

D. (-2; 3; 1)

Lời giải:

+ Mặt bằng phẳng (P) đem vecto pháp tuyến .

+ Gọi d là đường thẳng liền mạch trải qua A( 2;1; 1) và vuông góc với mặt mũi bằng phẳng (P). Khi cơ đường thẳng liền mạch d đem vecto chỉ phương là (1; -2; - 3)

=> Phương trình đường thẳng liền mạch d:

+ Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt mũi bằng phẳng ( P). Khi đó; H đó là gửi gắm điểm của lối trực tiếp d và mặt mũi bằng phẳng (P):

=> H( 2+ t; 1- 2t; 1- 3t) thay cho nhập phương trình mặt mũi bằng phẳng (P) tớ có:

2+ t – 2( 1- 2t)- 3( 1- 3t) - 11 = 0

⇔ 2+ t -2+ 4t – 3 + 9t- 11 = 0

⇔ 14 t- 14= 0 ⇔ t= 1 nên H ( 3; -1; - 2)

Vậy hình chiếu vuông góc của A lên ( P) là H( 3; -1; - 2) .

Xem thêm: Hyundai Accent 2024 thay đổi hoàn toàn về thiết kế

+ Do A’ là điểm đối xứng với A qua chuyện (P) nên H là trung điểm của AA’.

=> Tọa phỏng A’( 4; -3; - 5)

Chọn A.