Chứng minh công thức Euler trong số phức

Trong số phức, công thức Euler (được thi công vì chưng ngôi nhà toán học tập người Thụy Sĩ Leonhard Euler), là công thức chỉ ra rằng côn trùng tương tác thân thiện hàm số lư...

Trong số phức, công thức Euler (được thi công vì chưng ngôi nhà toán học tập người Thụy Sĩ Leonhard Euler), là công thức chỉ ra rằng côn trùng tương tác thân thiện hàm con số giác và hàm số nón phức. Nó sẽ là công thức đẹp tuyệt vời nhất và cần thiết nhất của lý thuyết số phức.

Bạn đang xem: Chứng minh công thức Euler trong số phức

Bài ghi chép này tiếp tục nêu một chứng minh cho tới công thức Euler (Ơ-le).

Với từng số thực $x$, tớ có:

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

Trong cơ $i$ là đơn vị chức năng ảo ($i^2=-1 \ \ \ \ $), còn hằng số $e$ vẫn nêu ở bài bác trước.

2. Chứng minh công thức Euler

Có nhiều phương pháp để chứng tỏ công thức Euler, nhập cơ cơ hội được trình diễn nhiều trong những giáo trình ĐH là dùng chuỗi Taylor. Tại bài bác này tiếp tục nêu một chứng tỏ sơ cung cấp hơn: người sử dụng đạo hàm.

Xét hàm số $f(x)=e^{-i x}.(\cos x+i\sin x), \ \ \ x \in \mathbb{R}.$

Ta có:

$$f'(x)=-ie^{-i x}.(\cos x+i\sin x)+e^{-i x}.(-\sin x+i\cos x)$$

Xem thêm: Cách download Zalo về máy tính, điện thoại nhanh chóng

$$=e^{-i x}.(-i\cos x-i^2\sin x-\sin x+i\cos x)$$

$$=e^{-i x}.(-i\cos x+\sin x-\sin x+i\cos x)=0, \ \ \forall x \in \mathbb{R}.$$

Suy rời khỏi $f$ là hàm hằng. Do đó:

$$f(x)=f(0)=e^{-i 0}.(\cos 0+i\sin 0)=1, \ \ \forall x \in \mathbb{R}.$$

Như vậy:

$$e^{-i x}.(\cos x+i\sin x)=1, \ \ \forall x \in \mathbb{R}.$$

$$\text{hay}\ \ \ e^{ix}=\cos x+i\sin x, \ \ \forall x \in \mathbb{R}.$$

Công thức Euler được chứng tỏ.