Chứng minh tứ giác là hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông

Bài tập dượt Toán 9: Chứng minh tứ giác là hình bình hành, chứng tỏ tứ giác là hình thoi là một dạng toán khó khăn thông thường bắt gặp vô đề thi đua tuyển chọn sinh vô lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và ra mắt cho tới chúng ta học viên nằm trong quý thầy cô tìm hiểu thêm. Nội dung tư liệu sẽ hỗ trợ chúng ta học viên học tập đảm bảo chất lượng môn Toán lớp 9 hiệu suất cao rộng lớn. Mời chúng ta tìm hiểu thêm.

A. Dấu hiệu nhận thấy hình bình hành

+ Tứ giác sở hữu những cạnh đối tuy vậy song là hình bình hành.

Bạn đang xem: Chứng minh tứ giác là hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông

+ Tứ giác sở hữu những cạnh đối đều bằng nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác sở hữu nhị cạnh đối tuy vậy song và đều bằng nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác sở hữu những góc đối đều bằng nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác sở hữu hai tuyến phố chéo cánh rời nhau bên trên trung điểm của từng lối là hình bình hành.

B. Dấu hiệu nhận thấy hình chữ nhật

+ Tứ giác sở hữu tía góc vuông là hình chữ nhật.

+ Hình thang cân nặng sở hữu một góc vuông là hình chữ nhật.

+ Hình bình hành sở hữu một góc vuông là hình chữ nhật.

+ Hình bình hành sở hữu hai tuyến phố chéo cánh đều bằng nhau là hình chữ nhật.

C. Dấu hiệu nhận thấy hình thoi

+ Tứ giác sở hữu tư cạnh đều bằng nhau là hình thoi.

+ Hình bình hành sở hữu nhị cạnh kề đều bằng nhau là hình thoi.

+ Hình bình hành sở hữu hai tuyến phố chéo cánh vuông góc cùng nhau là hình thoi.

+ Hình bình hành sở hữu một lối chéo cánh là lối phân giác của một góc là hình thoi.

D. Dấu hiệu nhận thấy hình vuông

+ Hình chữ nhật sở hữu nhị cạnh kề đều bằng nhau là hình vuông vắn.

+ Hình chữ nhật sở hữu hai tuyến phố chéo cánh vuông góc cùng nhau là hình vuông vắn.

+ Hình chữ nhật sở hữu một lối chéo cánh là lối phân giác của một góc là hình vuông vắn.

+ Hình thoi sở hữu một góc vuông là hình vuông vắn.

+ Hình thoi sở hữu hai tuyến phố chéo cánh đều bằng nhau là hình vuông vắn.

E. Bài tập dượt chứng tỏ tứ giác vẫn nghĩ rằng hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông vắn.

Ví dụ 1: Cho lối tròn trặn tâm (O) nước ngoài tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M, N thứu tự là vấn đề tại chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai chạc AN và CM rời nhau bên trên điểm I. Dây MN rời những cạnh AB và BC thứu tự bên trên H và K. Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

Hướng dẫn giải

Chứng minh tứ giác là hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông

Tứ giác CNIK nội tiếp suy ra

$\widehat {IKC} = \widehat {INC}$ (Hai góc nội tiếp chắn cung IC)

$\widehat {ABC} = \widehat {ANC}$ (Hai góc nội tiếp chắn cung AC)

$\Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {IKC}$

Do nhị góc ở địa điểm đồng vị => IK // HB

Gọi BI rời (O) bên trên G. Vì I là gửi gắm điểm của tía lối phân giác của tam giác ABC nên G là vấn đề tại chính giữa cung AC và BI là phân giác ABC.

Chứng minh tương tự động AMHI nội tiếp

=> $\widehat {AHI} = \widehat {AMI}$ (Hai góc nội tiếp chắn cung AI)

$\Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {AHI}$

Do nhị góc ở địa điểm đồng vị => HI // BK

Xét tứ giác BHIK có:

IK // BH (cmt)

HI // BK (cmt)

=> BHIK là hình bình hành. Mà BI là tia phân giác của HBK.

Xem thêm: Vệ Sinh Máy Lạnh Tại Nhà Giá Rẻ - Có Mặt Sau 30 Phút

=> BHIK là hình thoi.

Ví dụ 2: Cho lối tròn trặn (O) nửa đường kính R sở hữu nhị 2 lần bán kính AB và CD vuông góc cùng nhau. Trên đoạn trực tiếp AB lấy điểm M (M không giống O). CM rời (O) bên trên N. Đường trực tiếp vuông góc với AB bên trên M rời tiếp tuyến bên trên N của lối tròn trặn ở Phường. Chứng minh:

a) Tứ giác OMNP nội tiếp.

b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Chứng minh tứ giác là hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông

a) Ta sở hữu $\widehat {OMP} = {90^0}$ (vì PM vuông góc với AB)

$\widehat {ONP} = {90^0}$ (Vì NP là tiếp tuyến)

Như vậy M và N nằm trong nom OP bên dưới một góc vị 90⁰

=> M và N nằm trong phía trên lối tròn trặn 2 lần bán kính OP.

=> Tứ giác OMNP nội tiếp.

b) Tứ giác OMNP nội tiếp => $\widehat {OPM} = \widehat {ONM}$ (Góc nội tiếp chắn cung OM)

Tam giác ONC cân nặng bên trên O vì như thế ON = OC = R => $\widehat {ONC} = \widehat {OCN} \Rightarrow \widehat {OPM} = \widehat {OCM}$

Xét nhị tam giác OMC và tam giác MOP tao có:

$\begin{matrix} \widehat {MOC} = \widehat {OMP} = {90^0} \hfill \\ \widehat {OPM} = \widehat {OCM} \Rightarrow \widehat {CMO} = \widehat {POM} \hfill \\ \end{matrix}$

MO là cạnh chung

$\Rightarrow \Delta OMC = \Delta MOP \Rightarrow OC = MP\left( 1 \right)$

Theo fake thiết tao có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CD \bot AB} \\ {PM \bot AB} \end{array} \Rightarrow CO//PM\left( 2 \right)} \right.$

Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành.

Ví dụ 3: Cho lối tròn trặn (O) và điểm A ở ngoài lối tròn trặn. Kẻ tiếp tuyến AB với lối tròn trặn (O) (B là tiếp điểm) và 2 lần bán kính BC. Trên đoạn trực tiếp CO lấy điểm I (I không giống C, I không giống O). Đường trực tiếp IA rời (O) bên trên nhị điểm D và E (D nằm trong lòng A và E). Gọi H là trung điểm của đoạn trực tiếp DE. Tia CD rời AO bên trên điểm Phường, tia EO rời BP bên trên điểm F. Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Chứng minh tứ giác là hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông

Gọi F’ là gửi gắm điểm của BP và lối tròn trặn (O). Gọi QA là tiếp tuyến thứ hai với lối tròn trặn (O).

Vì tứ giác BDQC là tứ giác nội tiếp nên $\widehat {QDC} = \widehat {QBC}\left( 1 \right)$ .

Vì tứ giác ABOQ là tứ giác nội tiếp lối tròn trặn 2 lần bán kính AO nên $\widehat {QBC} = \widehat {QAO}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat {QDC} = \widehat {OAQ}$ => APDQ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \widehat {PAD} = \widehat {PQA}\left( 3 \right)$

Ta có: $\widehat {PDA} = \widehat {EDC} = \widehat {EBC}\left( 4 \right)$

Ta có: $\Delta ABP = \Delta AQP\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \widehat {PQA} = \widehat {PBA}\left( 5 \right)$

Từ (3), (4), (5)

$\begin{matrix} \Rightarrow \widehat {PBA} = \widehat {EBC} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {PBE} = \widehat {ABC} = {90^0} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {F'BE} = {90^0} \hfill \\ \end{matrix}$

=> F’E là 2 lần bán kính của (O) => F’ ∈ OE => F’ ≡ F

Vì FBEC là tứ giác nội tiếp nên $\widehat {FCE} = {180^0} - \widehat {FBL} = {90^0}$

Xem thêm: Vé máy bay Sài Gòn Hà Nội giá rẻ chỉ từ 600.000đ

Tứ giác FBEC có: $\widehat {FCE} = \widehat {FBE} = \widehat {BCE} = {90^0}$ nên là hình chữ nhật.

-----------------------------------------------------

Hy vọng tư liệu Chuyên đề Toán 9: Chứng minh tứ giác sẽ hỗ trợ ích mang lại chúng ta học viên học tập cầm Chắn chắn những cơ hội chuyển đổi hệ phương trình đôi khi học tập đảm bảo chất lượng môn Toán lớp 9. Chúc chúng ta học tập đảm bảo chất lượng, chào chúng ta tham lam khảo!